Centrální tlak a teplota

Fyzikální podmínky v nitru hvězd

Ve stabilní hvězdě musí platit v každém místě jejího nitra rovnováha mezi gravitační silou a silou vztlakovou. Říkáme, že hvězda je v hydrostatické rovnováze. Na vztlakové síle se podílí zejména tlak plynu. V nitru velmi žhavých hvězd se uplatní také tlak záření.

Budeme uvažovat malý váleček v nitru hvězdy, který je vzdálen r od jejího středu S, má podstavu o obsahu ΔS a malou výšku Δr. Plyn, který je v něm obsažený, má hustotu ρ(r) a hmotnost ρ(r)ΔSΔr. Tento váleček je přitahován do středu hvězdy pouze koulí o poloměru r a hmotnosti M(r), protože gravitační síly vrstev vyšších než r se navzájem ruší.

Ilustrační obrázek k rovnice hydrostatické rovnováhy hvězdného nitra	Mechanická rovnováha ve hvězdě = platnost rovnice hydrostatické rovnováhy a rovnice kontinuity současně, tzn. dM/dr = 4πr2ρ.

Gravitační síla působící na váleček má velikost

(1)

a způsobuje zvýšení tlaku na spodní podstavu o Δp; přičemž

(2)

kde G je gravitační konstanta G = 6,6742.10^-11 m³.s^-2.kg^-1
Vztah (2) je nazýván rovnicí hydrostatické rovnováhy a vyjadřuje skutečnost, že tlak p(r) roste spojitě od povrchu do centra hvězdy. Při zvětšení poloměru myšlené koule o Δr přibude její hmotnost o ΔM(r), tedy o hmotnost kulové slupky s poloměrem r a tloušťkou Δr

(3)

Integrací rovnice (3) získáme hmotnost M(r) koule o poloměru r. Ve hvězdném nitru však zatím průběh hustoty neznámě, a proto nahradíme hustotu ρ(r) střední hodnotou hustoty ρ, kterou lze stanovit z objemu a hmotnosti hvězdy.

(4)

Ilustrační obrázek k odvození hmotnosti M(r)

Ve hvězdě působí tlak plynu p_E

(5)

kde A je plynová konstanta A = 8,31.10^-3 J.kg.K^-1, μ je střední hmotnost připadající na jednu částici.

U hvězd horní části hlavní posloupnosti působí tlak záření p_r

(6)

kde a = 7,55.10^-16 J.m^-3.K^-4.

Centrální tlak

Hodnotu centrálního tlaku p_c odhadneme na základě výše uvedených vztahů. Tlak záření p_r budeme zanedbávat, neboť je pro hvězdy s hmotnostmi srovnatelnými s hmotností Slunce mnohem menší než tlak plynu p_E.

Vyjdeme z rovnice hydrostatické rovnováhy zapsané zjednodušeně p = p_E. Tuto podmínku si lze představit tak, že tlak plynu v blízkosti středu plynné koule se musí rovnat tlaku vytvářenému tíhou sloupce plynu s příčným průřezem 1 m² a výškou rovnou poloměru koule – hvězdy. Tíha sloupce plynu je rovna síle, kterou je přitahována ke středu koule. Dosadíme do zákona všeobecné gravitace

(7)

kde M je hmotnost celé koule a M(r) je hmotnost výše definovaného sloupce plynu. Označíme-li symbolem ρ průměrnou hustotu plynu v sloupci, pak M(r) = ρR, kde R je poloměr koule. Vzdálenost mezi středy koule a sloupce plynu je r = R/2. Za těchto podmínek je tíha vytyčeného sloupce plynu na 1 m² rovna

(8)

Po dosazení základních charakteristik Slunce, M = 2.10³⁰ kg, R = 7.10⁸ m, ρ = 1,4.10³ kg.m^-3 obdržíme p_c ≈ 10¹⁵ N.m^-2.
Vzhledem ke značné teplotě je i při tak vysokém tlaku látka ve slunečním centru stále ve stavu plynu.

Centrální teplota

Pro výpočet průměrné teploty v nitru hvězdy T_c budeme předpokládat, že přibližně platí p = p_c/2, kde p je průměrný tlak ve vzdálenosti r = R/2 od středu hvězdy. Dosazením do vztahu pro tlak obdržíme

(9)

Ze stavové rovnice vyjádříme

(10)

a po úpravě dostaneme

(11)

Po dosazení hodnot pro Slunce, μ = 0,6 získáme T ≈ 10⁷ K.
Takto vysoká teplota vypovídá o plazmovém stavu hvězdy. Postupnou přeměnou vodíku na helium se pozvolna zvyšuje střední hmotnost částic plynu a mění se také hustota ρ. Chemické změny v nitru hvězdy nutně vedou ke zvyšování centrální teploty T_c.

Ilustrační kresba